A mátrix mint mozdulat
Amikor egy A mátrixszal megszorzunk egy x vektort, egy másik vektort kapunk. A CS229 jelölésével ez az Ax egyenlő y alak. Geometriailag ez azt jelenti, hogy a mátrix fogja a bemeneti nyilat, és áthelyezi egy másik pontba. Ha ezt nem csak egyetlen vektorral, hanem a tér minden pontjával elképzeljük, akkor a mátrix az egész síkot vagy teret átalakítja. Ez a transzformáció (transformation) képe. A mátrix nem passzív adat, hanem egy mozdulat, amit a térrel végez.
Mitől lineáris
Nem minden átalakítás lineáris. A lineáris transzformáció két egyszerű tulajdonságot tart meg. Az első, hogy két vektor összegének a képe a képek összege, tehát a transzformáció felcserélhető az összeadással. A második, hogy egy skálázott vektor képe a kép ugyanannyiszorosa. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a rácsvonalak egyenesek maradnak, egyenlő közűek maradnak, és az origó a helyén marad. Semmi nem görbül el. Ez a fogalmi kép a 3Blue1Brown Essence of Linear Algebra megközelítését követi, és pontosan ez különbözteti meg a lineáris átalakítást a görbítő, torzító műveletektől.
Nem lineáris
- A rácsvonalak elgörbülnek
- Az origó elmozdul
- Az egyenlő közök megbomlanak
- Nem írható le egyetlen mátrixszal
Lineáris
- A rácsvonalak egyenesek maradnak
- Az origó a helyén marad
- Az egyenlő közök egyenlők maradnak
- Egyetlen mátrix pontosan leírja
A kulcs, a bázisvektorok képe
Itt jön a lecke legfontosabb gondolata. A síkon van két alap irány, a bázisvektorok. Az egyik a jobbra mutató egységvektor, jele gyakran i kalappal, ez az (1, 0). A másik a felfelé mutató, j kalappal, ez a (0, 1). Minden más vektor ezek kombinációja. Ha tudjuk, hova viszi a transzformáció ezt a két bázisvektort, akkor mindent tudunk róla, mert minden más pont ugyanezt a mozdulatot követi. És most a lényeg. A mátrix első oszlopa pontosan az, ahova az első bázisvektor kerül, a második oszlopa pedig az, ahova a második kerül. A mátrix oszlopai tehát a bázisvektorok új helyei.
Három tipikus átalakítás
A mátrixok geometriai hatása néhány visszatérő típusra bomlik. A nyújtás vagy zsugorítás a tengelyek mentén széthúzza vagy összenyomja a teret. A forgatás elfordítja a teret az origó körül, a hosszakat és szögeket megtartva. A nyírás megdönti a teret, mint amikor egy kártyapaklit oldalról meglökünk. A legtöbb valós transzformáció ezek keveréke. A lenti ábra egymás mellett mutatja a három alaptípust, hogy lásd, ugyanaz a bemeneti négyzet hogyan alakul át.
Miért számít ez az AI-ban
Egy neurális háló minden rétege egy lineáris transzformáció, amit egy nemlineáris lépés követ. A lineáris rész, tehát a mátrixszorzás, forgatja és nyújtja az adatot egy olyan térbe, ahol a mintázatok jobban szétválnak. A nemlineáris lépés adja hozzá azt a görbülést, amit egyetlen mátrix nem tud, és ez teszi a hálót igazán erőssé. A modern modellekben a vetítések, a figyelem és a beágyazások mind lineáris transzformációk. Ha tehát a mátrixot mozdulatként látod, akkor azt is látod, mit csinál egy réteg. Nem varázslatot, hanem az adat egy jól meghatározott átrendezését.
Az oszlopok mondják meg, mit csinál a mátrix. Egy transzformáció teljes hatását megismered, ha megnézed, hova kerülnek a bázisvektorok. Ezek a helyek éppen a mátrix oszlopai. Innen már látod, hogy nyújt, forgat vagy nyír a mátrix.
Workshop
AI Transformation Day
Egésznapos, vezetőknek szóló program. Feltérképezzük, hol tart a szervezet, mi az első reális lépés, és milyen belső feltételek szükségesek a sikerhez. A nap végén konkrét, prioritizált cselekvési lista.
Érdekel a program →